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4.3 反正切函數和反余切函數 1.素質教育目標 （一）知識教學要點 1.反正切函數和反余切函數的定義、形象和性質。 2.反正切和反余切函數的運算。 （二）能力培養要點 1、理解反正切、反余切函數的定義，并根據圖像得到其性質，進一步提高學生將數字與形狀結合的能力。 2.掌握反正切、反余切的三角運算以及正、余切函數的反正切、反余切運算，不斷提高學生綜合運用知識的能力。 （三）道德教育的切入點通過對反正切、反余切函數的研究，學生不難發現，它們雖然與反正弦、反余弦函數不同，但研究方法卻完全相同，有些性質也十分相似。 為此，教學過程中要注重引導學生透過現象看本質，讓學生通過把握事物的本質特征來認識事物的發展趨勢，不斷提高學生的認知能力，自覺接受事物的本質。辯證唯物主義認識論的觀點。 二、教學重點、難點、疑點及解決辦法 1、教學重點：反正切、反余切函數的定義、形象和性質 2、教學難點：反正切、反余切函數的定義。 3、教學疑點：反正切、反余切函數與反正弦、反余弦有很多相似之處，但又不一樣。 教學過程中要注意引導學生區分。 3. 課程安排建議為2節課。 4.教學流程設計第1課（1）復習介紹：我們之前學過反正弦函數和反余弦函數。 大家知道，為了建立這兩個函數，我們采用了控制自變量范圍的方法。 函數變成1比1。根據正函數和余切函數的特點，思考一下x應該分別控制在什么范圍內進行研究？ 老師：注意，這兩個區間都是開區間，與反正弦、反余弦無關。 教師：接下來讓學生思考如何定義反正切函數和反余切函數（學生敘述，教師板書）。 將其記錄為 y=。 余切函數 y=ctgx(x(0,π)) 的反函數稱為反余切函數，記為 y=。 師：請考慮一下反正切函數和反余切函數的定義域和取值范圍是什么？ 余切函數的定義域為(-,+)，取值范圍為(0,π)。 師：我們還是要從三個方面來理解反正切和反正余切的定義余切函數，對于(0,π)。 3與其對應的正切值和余切值分別基于反正切和反正切函數的定義，即其含義為3。 我們可以得到兩個基本關系表達式： tg()=x, x(-, + )． ctg()=x,x(-,+)． 求下列表達式的值： 教師：請學生根據反正切和反正切的含義完成計算（請學生口頭回答）。 求下列表達式的值： 師：根據本例的答案，請學生思考下面兩個表達式成立的條件是什么？ arctg(tgx)=x，(ctgx)=x． 練習：求arctg[tg(-2)]（請同學在黑板上做。）arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2． 師：這題利用變換，將不在反余切函數取值范圍內的角度轉換成其內的角度，這樣就可以解決問題了。 每個人都應該善于運用這個方法。 師：這道題是關于角相等的問題。 我們之前已經處理過這個問題了。 請回憶一下這種問題是如何解決的？ 根據三角函數的單調性，我們得出結論它們相等。 師：這題的兩個未知角都在等號的一側。 我們應該如何對待他們呢？ 師：根據出現的反三角函數，應該選擇哪個三角函數？ 生：正切或余切。 師：請學生根據剛才的討論自行完成證明（老師會檢查并注意個別指導）。 （3）練習P.283中。練習1、3、4、5。 （4）小結1.反正切、反余切的定義和意義（略）2.基本關系表達式：tg()=x,xR； ctg()=x,xR。 5. 作業教材 P. 285-286 練習 19 9, 10, 12. 6. 黑板設計第 2 課 1. 教學過程設計 (1) 復習者：前面我們學過反正弦、反余弦、反正切、反余切函數的定義。 我們將這四個函數統稱為反三角函數。 如果用y=arcx來表示這些函數，請學生說出它們的含義。 arcx代表一個角度，2。這個角度屬于它的值。 該角的同名三角函數的值等于x。 師：我們知道，反三角函數中的每個函數都有兩個基本的關系式。 讓我們嘗試根據上述約定來表達它們。 學生：1(arcx)=x余切函數，x屬于相應反函數的定義域。 2arc(x)=x，x屬于相應反函數的取值范圍。 （教師對上述表達式進行指導。） （2）緒論 教師：今天我們繼續學習反正切函數和反余切函數的圖像和性質。 我們仍然從兩個函數的原函數的圖像開始英語作文，使用彼此的逆函數。 進行函數的函數圖之間的關系。 師：請打開課本，閱讀第281頁圖4-6、4-7。 記住反正切函數和反正切函數的圖形的位置和形狀（讓學生觀察一段時間后，請同學畫一個草圖，老師會進行批改）。 師：要想準確地畫出他們的形象（圖4-5、圖4-6），就必須畫虛線。 它們被稱為漸近線。 下面我們可以根據圖像（學生敘述、老師板書）輕松求出它們的單調性。 (1) 反正切函數 y= 是區間 (-, +) 上的增函數； 反余切函數 y= 位于區間 (-, +) ) 上，是遞減函數。 教師：讓學生根據圖形判斷反正切函數的奇偶性（學生回答，教師板書）。 (2)反正切函數y=是奇函數，即arctg(-x)=-。 師：從反余切函數的圖形來看，它既不是奇函數，也不是偶函數，但它具有以下性質。 (3)(-x)=π-,x(-,+)。 其證明與反余弦函數性質2的證明類似。 要求學生課后自行完成。 （表格預先畫在軟黑板上，掛起來。） （4）舉例求函數y=||的單調區間。 解：函數的定義域是x(-,+)。 函數 y=|| 的圖像（草圖） 如圖4-7所示：可以得到函數的單調遞減區間為[-,0]。 函數的單調遞增區間為[0,+]。 x=(-y)=π-． 因此，原函數的反函數為： y=π-解： 由不等式()2-+2>0得。 可用：<1 或 >2。 根據反正切函數的單調性，可以得到x<tg1。 師：上面三個例子的答案都是利用反正切函數和反余切函數的性質或圖像來解決問題。 所以希望大家能夠記住反函數的圖像和性質。 但從上面總結的表格來看，內容很多，而且有很多雷同和混亂的地方，死記硬背是行不通的。 和以前一樣，我們只需要記住圖像，然后我們就可以根據圖像本身推斷出屬性。 （5）練習P。283中的練習2。 （6）總結表中的內容，并與學生一起朗讀。 2.作業課本P.286中練習19,11,13 3.板書設計#G%J)N@37^!H*L+0`4.

%I(M=26:#G&K-0@37^!H*L+1~5.%J)M=26:#G&K-07^$%J)N=26:!G&K-0`4. 7^(L+1~5;%J)N@36:!H&K-0`4. #F%J)N@37:!H*L-0`4。 #G&J)N@37^!H*L+1`4。 $I(M=26:#G&K-N@37^!H*L+1~5.%J(M=26:#G&K-0 7^$H *L+1~5;9 %J)N =26: D#G&K -0`4 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J)N@36:!H&K-0 `4。

8^bl #F%J)N@36:!H*L-0`4。 8 #G&K-0@37^$H*L+1~5; $I(M=26:#G&K-N@ 37^!H* L+1~5.7^$H *L+1~5;9 %J)N=26: D#G&K -0`4. 7 ^ QwUAY (L+1~5;%J )N@36:!H&K-0 `4.8 #F%J)N@37:!H*L-0`4.8 #G&K-0@37^$H* L+1~5； 7^ L+1~5;%J)N@26:!G&K-0 `4.8^bl (M+1~5;%J)N@36:!H*K-0 `4.8