更新時間：2024-01-13 16:07:33作者：佚名
三角形“四心”向量方式的充要條件應用在學習了《平面向量》一章的基礎內容以后，中學生們通過課堂例題以及課后習題相繼接觸了有關三角形重心、垂心、外心、內心向量方式的充要條件。現歸納總結如下：的重心，則nOA是內心引進單位向量，使條件顯得更簡練。假如記CAAB的單位向量為的內心;向量所在直線過ABC的內心(是BAC的角平分線所在直線)；范例(一)．將平面向量與三角形內心結合考查1．O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點點的軌跡一定通過ABC解析：由于ABAB是向量重心的定義及性質，由矩形的基本性質知AP平分BAC，這么在ABC中，AP平分BAC點評：這道題給人的印象其實是“新穎、陌生”，首先ABAB是哪些？沒見過！想想，一個非零向量乘以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加加法、向量的基本定律、菱形的基本性質、角平分線的性質等，若非常熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也沒有。
(二)將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定律”H是ABC所在平面內任一點，點H是ABC的垂心.HA同理是ABC的垂心.（反之亦然（證略））例3.(廣東)P是ABC所在平面上一點，若．外心B．內心C．重心D．垂心解析:由,同理所以P點評：本題考查平面向量有關運算，及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”為ABC所在平面內一點，且是ABC的垂心證明:同理是ABC的垂心(三)將平面向量與三角形重心結合考查“重心定律”是ABC所在平面內一點，證明畫圖如右，圖中聯結BE和CE，則CE=GB，BE=為平行四邊形D是BC點，AD為BC邊上的中線.代入是ABC的重心.（反之亦然（證略））是ABC所在平面內任一點.G是ABC的重心證明是ABC的重心．內心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如圖以OB、OC為相鄰兩旁構作平行四邊形，則，同理可證其它兩側上的這個性質網校頭條，所以是重心，選D。
點評：本題須要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質：重心是三角形中線的內分點，所分這比為。本題在解題的過程上將平面向量的有關運算與平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質等相關知識巧妙結合。變式：已知D分別為ABC的邊變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為點評：（1）證法運用了向量乘法的三角形法則重心的定義及性質，證法2運用了向量乘法的平行四邊形法則．（2）重合，則上式變內一點，．內心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定義知O點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合。(五)將平面向量與三角形四心結合考查例8．已知向量OP滿足條件證明由已知OP，兩側平方得是正三角形.反之，若點O是正三角形P是ABC所在平面內一點，的中心.例9．在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，構建如圖所示的直角座標系。設A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有：