更新時(shí)間：2024-10-06 16:24:27作者：留學(xué)之路
Courant 代數(shù)幾何小組的研究重點(diǎn)在于幾何、拓?fù)浜蛿?shù)論的交匯處。特別令人感興趣的是有關(guān)高維簇上有理點(diǎn)和有理曲線的存在和分布、群作用和隱對(duì)稱性以及代數(shù)簇的有理性、無(wú)理性和雙曲性性質(zhì)的問題。
大多數(shù)(如果不是全部)物理系統(tǒng)都可以通過偏微分方程 (PDE) 進(jìn)行建模：從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(包括流體力學(xué)和材料科學(xué))到量子力學(xué)或廣義相對(duì)論。自庫(kù)朗研究所成立以來(lái)，偏微分方程的研究一直是其中心研究主題。主題極其多樣，從抽象問題(解決方案的存在性、唯一性)到更具體的問題(有關(guān)解決方案行為的定性或定量信息，通常與模擬相關(guān))。
動(dòng)力系統(tǒng)的主題涉及根據(jù)明確定義的規(guī)則隨時(shí)間演變的系統(tǒng)，該規(guī)則可以是確定性的，也可以是概率性的;這種系統(tǒng)的例子幾乎出現(xiàn)在所有科學(xué)領(lǐng)域。遍歷理論是與測(cè)度空間的測(cè)度保持變換有關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)分支，例如與哈密頓力學(xué)相關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)。
Courant 的幾何研究將微分幾何和度量幾何與分析和拓?fù)湎嘟Y(jié)合。幾何組與分析和偏微分方程有著密切的聯(lián)系，因?yàn)閮蓚€(gè)組都感興趣許多偏微分方程和技術(shù)，例如愛因斯坦方程、最小曲面方程、變分法和幾何測(cè)度論。
庫(kù)朗研究所的一個(gè)中心主題是使用先進(jìn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究物理系統(tǒng)。目前，重點(diǎn)領(lǐng)域包括流體動(dòng)力學(xué)、等離子體物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)。該研究所的傳統(tǒng)是研究基本問題并通過直接的、現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用來(lái)解決問題。
感興趣的領(lǐng)域范圍從隨機(jī)過程到隨機(jī)離散結(jié)構(gòu)再到統(tǒng)計(jì)物理學(xué)(滲流、隨機(jī)矩陣……)，近年來(lái)它變得越來(lái)越重要。概率論與許多領(lǐng)域(計(jì)算方法、金融數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、動(dòng)力系統(tǒng)、圖論)有著天然的聯(lián)系，因?yàn)榇罅康默F(xiàn)象可以通過概率手段來(lái)最好地建模或理解。
Courant 教師對(duì)統(tǒng)計(jì)和量子力學(xué)中的隨機(jī)建模、非線性優(yōu)化、矩陣分析、高維數(shù)據(jù)分析以及作為流體和固體力學(xué)、等離子體物理學(xué)、聲學(xué)和物理學(xué)核心的偏微分方程的數(shù)值解感興趣。電磁學(xué)。這項(xiàng)工作的核心是開發(fā)穩(wěn)健且高效的算法。