更新時(shí)間：2024-10-06 16:24:26作者：留學(xué)之路
代數(shù)幾何的研究對象大致是一個(gè)或多個(gè)變量(代數(shù)簇)的多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)。但由于多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)中如此普遍，代數(shù)幾何始終站在許多不同領(lǐng)域的十字路口。代數(shù)幾何中的經(jīng)典問題涉及特定方程組或直線和線性空間幾何的研究。
哥倫比亞大學(xué)代數(shù)幾何研究小組有著悠久的傳統(tǒng)。目前，該系是代數(shù)幾何研究的活躍中心，以幾何為重點(diǎn)。許多感興趣的領(lǐng)域包括曲線、曲面、三重和向量叢;幾何不變量理論;復(fù)曲面幾何;奇點(diǎn);特征p中的代數(shù)幾何和算術(shù)代數(shù)幾何;代數(shù)幾何和拓?fù)洹?shù)學(xué)物理、可積系統(tǒng)和微分幾何之間的聯(lián)系等。
幾何和分析在哥倫比亞大學(xué)尤為活躍。這些都是廣闊的領(lǐng)域，世界各地領(lǐng)先的數(shù)學(xué)系都以不同的方式反映了無數(shù)的方面。在哥倫比亞大學(xué)，它們緊密地交織在一起，以偏微分方程為共同的統(tǒng)一線索，以幾個(gè)復(fù)雜變量、代數(shù)幾何、拓?fù)洹⒗碚撐锢怼⒏怕屎蛻?yīng)用數(shù)學(xué)的基本問題為指導(dǎo)目標(biāo)。
基本物理定律的表述始終與最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)緊密交織在一起。這在今天更加明顯，幾何學(xué)為廣義相對論、規(guī)范理論、弦理論和統(tǒng)計(jì)物理模型奠定了基礎(chǔ)。反過來，這些物理學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的進(jìn)步，例如黎曼表面理論、量子幾何、紐結(jié)理論、鏡像對稱、表示論、非線性偏微分方程和微分幾何。數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間的交叉融合也許從未如此豐富。
數(shù)論是數(shù)學(xué)最古老的分支之一，主要研究數(shù)字的一般性質(zhì)。在過去的幾十年里，數(shù)論研究在許多方面都取得了快速進(jìn)展。最近，解析、幾何和 p-adic 方法產(chǎn)生了重要的新結(jié)果。這些進(jìn)步已被用來帶來突破，解決長期存在的問題，并提出新的鼓舞人心的問題。
自從 Bachelier 于 1900 年開創(chuàng)了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)研究并理解其作為金融市場分析工具的重要性以來，概率一直是金融研究的核心(比愛因斯坦發(fā)展布朗運(yùn)動(dòng)的物理理論早了五年)。隨著馬科維茨、夏普、米勒以及默頓和斯科爾斯獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，金融理論引起了全世界的關(guān)注，它試圖理解金融市場如何運(yùn)作，如何提高金融市場的效率，以及金融市場應(yīng)該如何運(yùn)作。
拓?fù)鋵W(xué)關(guān)注空間形狀的內(nèi)在屬性。n維流形是一類在數(shù)學(xué)中發(fā)揮核心作用且其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到廣泛研究的空間。這些空間局部看起來像歐幾里得 n 維空間。