更新時間：2022-08-06 08:02:44作者：佚名
一、歐拉方程及其求解方法
具有結構的變系數線性微分方程稱之為歐拉方程.令，則，于是有記即用乘以一個函數，就是對該函數求階導數；并且關于符合乘法運算律和分配律，即有所以用數學歸納法可以驗證，將原歐拉方程中全部用上式代入，則可以將原方程轉化為以為函數，為自變量的常系數線性微分方程即于是，就可以通過常系數線性微分方程的求解方法求該方程的通解了。【注1】解可以寫成參數方程描述形式，即當然一般將其回代到上面的函數得到關于的函數通解表達式.【注2】歐拉方程其實就是一種線性微分方程的結構，只不過不具有直接的顯性結果，需要換元變換得到。
二、微分方程求解的參數方程方法
對于一些特殊結構的微分方程可以通過引入參數的方法來求解得到微分方程的通解，其實歐拉方程的方法也可以說是一種參數方程的方法。
通常適用的微分方程結構為包含有中兩個不同項的微分方程，通過設其中一項為適當的參數表達式，通過微分方程等式解出另外一項的參數表達式，從而依據復合函數求導，將導數描述為參變量的導數來求通解的思路與過程. 常用的結構如或者包含有因式的微分方程，或者等因式的微分方程，具體應用實例參見課件中的例題與練習.
三、常系數線性微分方程組舉例
常系數線性微分方程組解法步驟:
第一步：用消元法消去其他未知函數 , 得到只含一個函數的高階方程；
第二步：求出此高階方程的未知函數；
第三步：把求出的函數代入原方程組，一般通過求導得其它未知函數.
【注1】一階線性方程組的通解中線性微分方程，任意常數的個數= 未知函數個數
【注2】如果通過積分求其它未知函數 , 則需要討論任意常數的關系.
四、微分方程模型求解實際問題的基本步驟
(1)確定模型類型：注意到實際問題中與數學中的導數相關的常用詞語。比如運動學、化學反應中的變化率，速度、速率、加速度，經濟學中的邊際，生物學、金融、經濟等領域中的增長，放射性問題中的衰變以及一般提及的改變、變化、增加、減少等，在幾何上則有切線、法線，這樣的問題都可能與導數或微分相關，有可能通過建立微分方程模型來反映其規律。
(2)轉換描述并統一量綱：梳理出實際問題中涉及到的各種量線性微分方程，并把相關的文字語言描述轉換為數學語言與符號描述形式。如果牽涉到的量有單位，則統一量綱。
(3)確定因變量與自變量：根據所求結果，確定與結果相關的兩個量，一個為待求函數變量；一個為自變量；而與變化率相關的量即為待求函數的導數。
(4)建立微分方程：分析問題中所涉及的原理或物理定律，根據已有變化率描述；或者借助微元分析法，給自變量一個增量，建立因變量增量與自變量增量相關的等式，并由平均變化率取關于自變量增量趨于0的極限，得到包含待求函數導數的相關等式，即微分方程描述形式。
(5)確定初值條件：根據問題，找出并明確可能的初值條件；值得注意的是：有些初值條件不一定直接給出，可能在問題的解決過程中獲得。
(6)寫出模型：寫出由微分方程和初始條件構成的常微分方程初值問題模型。
(7)求解初值問題：求初值問題的解，給出問題的答案。
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參考課件
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