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廣東省東莞市電珠實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高中下學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查問(wèn)題

1、選擇題（本大題共8題，總分40.0分，在每題列出的選項(xiàng)中選擇符合該題的選項(xiàng)）

1． （2023年?yáng)|莞市中考）直線(xiàn)的傾斜角是（）

A. B．光盤(pán)。

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的傾角；直線(xiàn)的斜率

【分析】【解答】解：∵

∴

∴

還有∵

∴

故選：C

【分析】將直線(xiàn)的一般公式改寫(xiě)為斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得結(jié)果。

2.（2018·國(guó)Ⅱ卷理論）雙曲線(xiàn)（a>0，b>0）的偏心率為，則其漸近線(xiàn)方程為（）

A. B．光盤(pán)。

【答案】A

[知識(shí)點(diǎn)] 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【答案】∵e= = ,

∴3= =2

∴

∴漸近線(xiàn)方程為： y=

所以答案是：A

【分析】由偏心率可得，進(jìn)而求得，可得漸近線(xiàn)方程。

3． （2023年?yáng)|莞市中考）已知，則（）

A. B．光盤(pán)。

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用；使用歸納公式來(lái)簡(jiǎn)化和評(píng)估

【分析】【解答】解：∵ ,

∴

但

故選：B.

【分析】從歸納公式和全等角關(guān)系可以化簡(jiǎn)為：

4.（2023年中考·東莞）該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，m的值為（）

A. B． 0℃。 -1 D.1

【答案】C

[知識(shí)點(diǎn)] 平面上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

【分析】【解答】解：一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)不動(dòng)點(diǎn)Q(2,1)，

因此，當(dāng)該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，PQ垂直于直線(xiàn)，

現(xiàn)在，

解為m=-1，

故選：C.

【分析】由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)固定點(diǎn)Q(2,1)，當(dāng)PQ垂直于直線(xiàn)時(shí)，該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，因此可以通過(guò)方程組得到答案。

5.（2016年高一·五邑期中）假設(shè)F是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)：y2=3x。過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|= ()

A. B． 6C． 12D． 7

【答案】C

[知識(shí)點(diǎn)] 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦點(diǎn)F(,0)，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-。

那么通過(guò)拋物線(xiàn) y2=3x 的焦點(diǎn) F、傾角為 30° 的直線(xiàn)方程為 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。

代入拋物線(xiàn)方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。

設(shè) A (x1, y1), B (x2, y2)

那么x1+x2= ,

所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12

故選：C

【分析】求焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜率公式求出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|。

6.（2023年?yáng)|莞市中考）過(guò)一點(diǎn)與向量平行的直線(xiàn)方程為（）

A. B．

光盤(pán)。

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的點(diǎn)-斜率方程；直線(xiàn)的方向向量

【分析】【解答】解答：根據(jù)題意可知，直線(xiàn)的斜率為，

所以直線(xiàn)方程為：

因此選擇：A.

【分析】利用點(diǎn)斜率公式求直線(xiàn)方程。

7.（2023年?yáng)|莞市中考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

A. B．光盤(pán)。

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，

設(shè) t=x2-2x-8，則 y=lnt，

當(dāng)∵x∈(∞, 2)時(shí)，t=x2-2x-8是遞減函數(shù)；

當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí)，t=x2-2x-8為增函數(shù)；

y=lnt 是一個(gè)增函數(shù)，

因此，函數(shù) f(x)=ln(x2-2x-8) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (4, +∞)，

故選D。

【分析】首先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)函數(shù)同增異減的性質(zhì)來(lái)求答案。

8． （2023中考·東莞）已知， 是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，P是右枝上的任意點(diǎn)，若最小值為8a，則雙曲線(xiàn)的偏心率e的范圍雙曲線(xiàn)是 ( )

A. B．光盤(pán)。

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最優(yōu)值問(wèn)題中的應(yīng)用；雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【解答】解決方法： 。

當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|=2a，上式的等號(hào)成立，則|PF1|=4a。

又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，

所以，

故選B。

【分析】化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)得到不等式4a+2a≥2c，并計(jì)算e的范圍。

2、選擇題（本大題有4個(gè)分題，共20.0分，每個(gè)分題中有多個(gè)項(xiàng)目符合出題要求）

9.（2023年中考·東莞）已知遞減算術(shù)數(shù)列前n項(xiàng)之和為，則（）

A. B．光盤(pán)。最大限度

【答案】A、C、D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)之和；算術(shù)數(shù)列和線(xiàn)性函數(shù)之間的關(guān)系；算術(shù)數(shù)列的性質(zhì)

【分析】【解答】解：由 ，可得， ，

算術(shù)數(shù)列 {an} 是遞減數(shù)列，

所以a8又錯(cuò)了，所以B也錯(cuò)了；

，所以 C 是正確的；

算術(shù)數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，a8，所以當(dāng)1≤n≤7時(shí)，an>0

當(dāng)n≥8時(shí)，an選擇：ACD

【分析】可知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故a80，當(dāng)n≥8時(shí)，an10。 （2023中考·東莞）已知四面體ABCD，各邊長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A. B．

光盤(pán)。

【答案】B、D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)值乘積運(yùn)算；利用數(shù)值積來(lái)確定平面向量的垂直關(guān)系；平面外直線(xiàn)的確定

【分析】【解答】解：根據(jù)題，四面體A-BCD是正四面體，如圖所示。

A：因?yàn)锳F∩平面ABC=A，CE平面ABC，并且，平面ABC，從面外直線(xiàn)的定義可知，AF、CE都是面外直線(xiàn)，所以A是錯(cuò)誤的；

B：因?yàn)椋虼耍珺 是正確的；

C：由于F是邊CD的中點(diǎn)，所以C是錯(cuò)誤的；

D：因?yàn)镋和F分別是邊AB和CD的中點(diǎn)，所以D是正確的。

所以我選擇：BD。

【分析】A是通過(guò)面外直線(xiàn)與向量平行的定義來(lái)判斷的，BC是通過(guò)空間向量的量積運(yùn)算來(lái)判斷的，D是通過(guò)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算來(lái)判斷的。

11.（2023年?yáng)|莞市中考）過(guò)P(4,-2)點(diǎn)的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A. B．光盤(pán)。

【答案】A、C

[知識(shí)點(diǎn)] 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】【解答】解：如果拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=2px(p>0)，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2 ),

所以(-2)2=2p×4，解為p=，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=x。

如果拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x2=2py(p>0)，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，

所以42=2p×(-2)，解為p=-4，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為x2=-8y。

因此，我選擇：AC。

【解析】根據(jù)題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線(xiàn)的方程為y2=2px(p>0)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上軸，拋物線(xiàn)方程為x2=2py(p>0)，分別代入P點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算可用選項(xiàng)。

12.（2023年中考·東莞）已知數(shù)列的通式為： 若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（）

A.4B。 5C。 6 D.7

【答案】A、B

【知識(shí)點(diǎn)】序列的功能特點(diǎn)

【分析】【解答】解答：根據(jù)題意，，則，

所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 為 λ，故 λ0, b>0) 的偏心率為，則其漸近線(xiàn)方程為 ()

A. B．光盤(pán)。

3． （2023年?yáng)|莞市中考）已知，則（）

A. B．光盤(pán)。

4.（2023年中考·東莞）該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，m的值為（）

A. B． 0 c． -1 D． 1

5.（2016年高一·五邑期中）假設(shè)F是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)：y2=3x。過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|= ()

A. B． 6C. 12 D.7

6.（2023年?yáng)|莞市中考）過(guò)一點(diǎn)與向量平行的直線(xiàn)方程為（）

A. B．

光盤(pán)。

7.（2023年?yáng)|莞市中考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

A. B．光盤(pán)。

8． (2023中考·東莞)已知 , 為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，P為右枝上的任意點(diǎn)，若最小值為8a，則雙曲線(xiàn)的偏心率e的范圍雙曲線(xiàn)是 ( )

A. B．光盤(pán)。

2、選擇題（本大題有4個(gè)分題，共20.0分，每個(gè)分題中有多個(gè)項(xiàng)目符合出題要求）

9.（2023年中考·東莞）已知遞減算術(shù)數(shù)列前n項(xiàng)之和為，則（）

A. B．光盤(pán)。最大限度

10． （2023中考·東莞）已知四面體ABCD，各邊長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A. B．

光盤(pán)。

11.（2023年?yáng)|莞市中考）過(guò)P(4,-2)點(diǎn)的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A. B．光盤(pán)。

12.（2023年中考·東莞）已知數(shù)列的通式為： 若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．4B． 5C。 6D。 7

3.填空題（本題共有4道小題，共20.0分）

13.（2019·浙江模擬）已知圓上任意點(diǎn)：（為正實(shí)數(shù)）相對(duì)于直線(xiàn)：的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在圓上，則 的最小值為 。

14.（2020年高中·黑龍江月考）對(duì)于等差數(shù)列，前項(xiàng) 和 分別為 。如果它們對(duì)于任何正整數(shù)都存在，則 的值為 。

15． （2023年中考·東莞） 橢圓相對(duì)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的右焦點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的偏心率為。

16.（2023年中考·東莞）如圖所示，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，,...,...其中該點(diǎn)在拋物線(xiàn)，點(diǎn)所在位置為，序列通項(xiàng)的猜測(cè)公式為。

4.回答問(wèn)題（本大題共有6道小題，總分70.0分。答案需寫(xiě)出書(shū)面說(shuō)明，證明過(guò)程或計(jì)算步驟）

17． (2023中考·東莞)有三個(gè)頂點(diǎn),,,,D為BC的中點(diǎn)，求：

(1) BC邊高所在直線(xiàn)方程；

(2) B邊中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)方程。

18.（2020年高一·洛陽(yáng)期末）在三棱柱中，平面 是 的中點(diǎn)， 是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形。

(1) 證明： ；

(2) 如果是，求二面角的大小。

19． （2023年高中二年級(jí)·東莞中考）已知序列{an}前n項(xiàng)之和為，

(1)求序列{an}的通式；

(2) 設(shè)，為數(shù)列前n項(xiàng)之和，求數(shù)列前n項(xiàng)之和。

20.（2023年中考·東莞）已知圓與圓：關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性。

(1)求圓的方程和圓的公弦長(zhǎng)；

(2) 設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求此時(shí)直線(xiàn)l的最小值及方程。

21。 (2023中考·東莞) 假設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)之和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，有

(1) 假設(shè)并驗(yàn)證：該數(shù)列是等比數(shù)列，并求通式。

(2) 求數(shù)列前n項(xiàng)的和。

22。 （2023年中考·東莞）給定一個(gè)橢圓石竹學(xué)校，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，以橢圓為半徑的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”。設(shè)橢圓C的偏心率為，點(diǎn)在C上。

(1)求出橢圓C的方程及其“衛(wèi)星圓”方程；

(2) 點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的移動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條直線(xiàn)，使其與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，其“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)M和 N 分別。證明弦長(zhǎng)|MN|是一個(gè)常數(shù)值。

答案解析部分

1． 【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的傾角；直線(xiàn)的斜率

【分析】【解答】解：∵

∴

∴

還有∵

∴

故選：C

【分析】將直線(xiàn)的一般公式改寫(xiě)為斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得結(jié)果。

2.【答案】A

[知識(shí)點(diǎn)] 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【答案】∵e= = ,

∴3= =2

∴

∴漸近線(xiàn)方程為： y=

所以答案是：A

【分析】由偏心率可得，進(jìn)而求得，可得漸近線(xiàn)方程。

3． 【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用；使用歸納公式來(lái)簡(jiǎn)化和評(píng)估

【分析】【解答】解：∵ ,

∴

但

故選：B.

【分析】從歸納公式和全等角關(guān)系可以化簡(jiǎn)為：

4.【答案】C

[知識(shí)點(diǎn)] 平面上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

【分析】【解答】解：一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)不動(dòng)點(diǎn)Q(2,1)，

因此，當(dāng)該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，PQ垂直于直線(xiàn)，

現(xiàn)在，

解為m=-1，

故選：C.

【分析】由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)固定點(diǎn)Q(2,1)，當(dāng)PQ垂直于直線(xiàn)時(shí)，該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，因此可以通過(guò)方程組得到答案。

5.【答案】C

[知識(shí)點(diǎn)] 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦點(diǎn)F(,0)，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-。

那么通過(guò)拋物線(xiàn) y2=3x 的焦點(diǎn) F、傾角為 30° 的直線(xiàn)方程為 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。

代入拋物線(xiàn)方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。

設(shè) A (x1, y1), B (x2, y2)

那么x1+x2= ,

所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12

故選：C

【分析】求焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜率公式求出直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求|AB |。

6.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)的點(diǎn)-斜率方程；直線(xiàn)的方向向量

【分析】【解答】解答：根據(jù)題意可知，直線(xiàn)的斜率為，

所以直線(xiàn)方程為：

因此選擇：A.

【分析】利用點(diǎn)斜率公式求直線(xiàn)方程。

7.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，

設(shè) t=x2-2x-8，則 y=lnt，

當(dāng)∵x∈(∞, 2)時(shí)，t=x2-2x-8為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí)，t=x2-2x-8為增函數(shù)；

y=lnt 是一個(gè)增函數(shù)，

因此，函數(shù) f(x)=ln(x2-2x-8) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (4, +∞)，

故選D。

【分析】首先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)函數(shù)同增異減的性質(zhì)求出答案。

8． 【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最優(yōu)值問(wèn)題中的應(yīng)用；雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【分析】【解答】解決方法： 。

當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|=2a，上式的等號(hào)成立，則|PF1|=4a。

且|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，

所以，

故選B。

【分析】化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)得到不等式4a+2a≥2c，并計(jì)算e的范圍。

9.【答案】A、C、D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)之和；算術(shù)數(shù)列和線(xiàn)性函數(shù)之間的關(guān)系；算術(shù)數(shù)列的性質(zhì)

【分析】【解答】解：由 ，可得石竹學(xué)校， ，

算術(shù)數(shù)列 {an} 是遞減數(shù)列，

所以a8又錯(cuò)了，所以B也錯(cuò)了；

，所以 C 是正確的；

算術(shù)數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，a8，所以當(dāng)1≤n≤7時(shí)，an>0

當(dāng)n≥8時(shí)，an選擇：ACD

【分析】可知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故a80，當(dāng)n≥8時(shí)，an10。 【答案】B、D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)值乘積運(yùn)算；利用數(shù)值積來(lái)確定平面向量的垂直關(guān)系；平面外直線(xiàn)的確定

【分析】【解答】解：根據(jù)題，四面體A-BCD是正四面體，如圖所示。

A：因?yàn)锳F∩平面ABC=A，CE平面ABC，平面ABC，從面外直線(xiàn)的定義可知，AF和CE都是面外直線(xiàn)，所以A為錯(cuò)誤的;

B：因?yàn)椋虼耍珺 是正確的；

C：由于F是邊CD的中點(diǎn)，所以C是錯(cuò)誤的；

D：因?yàn)镋和F分別是邊AB和CD的中點(diǎn)，所以D是正確的。

所以我選擇：BD。

【分析】A是通過(guò)面外直線(xiàn)與向量平行的定義來(lái)判斷的，BC是通過(guò)空間向量乘積的運(yùn)算來(lái)判斷的，D是通過(guò)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算來(lái)判斷的。

11.【答案】A、C

[知識(shí)點(diǎn)] 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】【解答】解：如果拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=2px(p>0)，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2 ),

所以(-2)2=2p×4，解為p=，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=x。

如果拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x2=2py(p>0)，又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，

所以42=2p×(-2)，解為p=-4留學(xué)之路，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為x2=-8y。

因此，我選擇：AC。

【解析】根據(jù)題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線(xiàn)的方程為y2=2px(p>0)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上軸，拋物線(xiàn)方程為x2=2py(p>0)，分別代入P點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算可用選項(xiàng)。

12.【答案】A、B

【知識(shí)點(diǎn)】序列的功能特點(diǎn)

【分析】【解答】解答：根據(jù)題意，，則，

所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 是 λ 所以 λ