廣東省東莞市石竹實驗學校2022-2023學年高二下學期數學開學學情
更新時間：2024-11-27 10:15:04作者：佚名
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廣東省東莞市電珠實驗學校2022-2023學年高中下學期數學成績調查問題
1、選擇題（本大題共8題，總分40.0分，在每題列出的選項中選擇符合該題的選項）
1． （2023年東莞市中考）直線的傾斜角是（）
A. B．光盤。
【答案】C
【知識點】直線的傾角；直線的斜率
【分析】【解答】解：∵
∴
∴
還有∵
∴
故選：C
【分析】將直線的一般公式改寫為斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得結果。
2.（2018·國Ⅱ卷理論）雙曲線（a>0，b>0）的偏心率為，則其漸近線方程為（）
A. B．光盤。
【答案】A
[知識點] 雙曲線的簡單性質
【分析】【答案】∵e= = ,
∴3= =2
∴
∴漸近線方程為： y=
所以答案是：A
【分析】由偏心率可得，進而求得，可得漸近線方程。
3． （2023年東莞市中考）已知，則（）
A. B．光盤。
【答案】B
【知識點】同角三角函數基本關系的應用；使用歸納公式來簡化和評估
【分析】【解答】解：∵ ,
∴
但
故選：B.
【分析】從歸納公式和全等角關系可以化簡為：
4.（2023年中考·東莞）該點到直線的距離最大時，m的值為（）
A. B． 0℃。 -1 D.1
【答案】C
[知識點] 平面上一點到直線的距離公式
【分析】【解答】解：一條直線經過不動點Q(2,1)，
因此，當該點到直線的距離最大時，PQ垂直于直線，
現在，
解為m=-1，
故選：C.
【分析】由于直線經過固定點Q(2,1)，當PQ垂直于直線時，該點到直線的距離最大，因此可以通過方程組得到答案。
5.（2016年高一·五邑期中）假設F是拋物線C的焦點：y2=3x。過F且傾斜角為30°的直線與C相交于A、B兩點，則|AB|= ()
A. B． 6C． 12D． 7
【答案】C
[知識點] 拋物線的簡單性質
【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦點F(,0)，則準線方程為x=-。
那么通過拋物線 y2=3x 的焦點 F、傾角為 30° 的直線方程為 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。
代入拋物線方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。
設 A (x1, y1), B (x2, y2)
那么x1+x2= ,
所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12
故選：C
【分析】求焦點坐標，利用點斜率公式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數的關系，利用弦長公式求|AB|。
6.（2023年東莞市中考）過一點與向量平行的直線方程為（）
A. B．
光盤。
【答案】A
【知識點】直線的點-斜率方程；直線的方向向量
【分析】【解答】解答：根據題意可知，直線的斜率為，
所以直線方程為：
因此選擇：A.
【分析】利用點斜率公式求直線方程。
7.（2023年東莞市中考）函數的單調遞增區間為
A. B．光盤。
【答案】D
【知識點】復合函數的單調性
【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，
設 t=x2-2x-8，則 y=lnt，
當∵x∈(∞, 2)時，t=x2-2x-8是遞減函數；
當x∈(4,+∞)時，t=x2-2x-8為增函數；
y=lnt 是一個增函數，
因此，函數 f(x)=ln(x2-2x-8) 的單調遞增區間為 (4, +∞)，
故選D。
【分析】首先求函數的定義域，然后根據二次函數和對數函數的性質，結合復函數同增異減的性質來求答案。
8． （2023中考·東莞）已知， 是雙曲線的左右焦點，P是右枝上的任意點，若最小值為8a，則雙曲線的偏心率e的范圍雙曲線是 ( )
A. B．光盤。
【答案】B
【知識點】基本不等式在最優值問題中的應用；雙曲線的簡單性質
【分析】【解答】解決方法： 。
當且僅當|PF2|=2a，上式的等號成立，則|PF1|=4a。
又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，
所以，
故選B。
【分析】化簡，結合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再結合雙曲線的性質得到不等式4a+2a≥2c，并計算e的范圍。
2、選擇題（本大題有4個分題，共20.0分，每個分題中有多個項目符合出題要求）
9.（2023年中考·東莞）已知遞減算術數列前n項之和為，則（）
A. B．光盤。最大限度
【答案】A、C、D
【知識點】等差數列前n項之和；算術數列和線性函數之間的關系；算術數列的性質
【分析】【解答】解：由 ，可得， ，
算術數列 {an} 是遞減數列，
所以a8又錯了，所以B也錯了；
，所以 C 是正確的；
算術數列{an}是遞減數列，a8，所以當1≤n≤7時，an>0
當n≥8時，an選擇：ACD
【分析】可知等差數列{an}是遞減數列，故a80，當n≥8時，an10。 （2023中考·東莞）已知四面體ABCD，各邊長均為2，點E、F分別為邊AB、CD的中點，則下列結論正確的是（）
A. B．
光盤。
【答案】B、D
【知識點】平面向量的數值乘積運算；利用數值積來確定平面向量的垂直關系；平面外直線的確定
【分析】【解答】解：根據題，四面體A-BCD是正四面體，如圖所示。
A：因為AF∩平面ABC=A，CE平面ABC，并且，平面ABC，從面外直線的定義可知，AF、CE都是面外直線，所以A是錯誤的；
B：因為，因此，B 是正確的；
C：由于F是邊CD的中點，所以C是錯誤的；
D：因為E和F分別是邊AB和CD的中點，所以D是正確的。
所以我選擇：BD。
【分析】A是通過面外直線與向量平行的定義來判斷的，BC是通過空間向量的量積運算來判斷的，D是通過空間向量的線性運算來判斷的。
11.（2023年東莞市中考）過P(4,-2)點的拋物線標準方程為()
A. B．光盤。
【答案】A、C
[知識點] 拋物線的標準方程
【分析】【解答】解：如果拋物線的焦點在x軸上，則設拋物線的方程為y2=2px(p>0)，又因為拋物線經過點P(4,-2 ),
所以(-2)2=2p×4，解為p=，所以拋物線方程為y2=x。
如果拋物線的焦點在y軸上，設拋物線的方程為x2=2py(p>0)，又因為拋物線經過點P(4,-2)，
所以42=2p×(-2)，解為p=-4，所以拋物線方程為x2=-8y。
因此，我選擇：AC。
【解析】根據題意，拋物線的焦點在x軸上，拋物線的方程為y2=2px(p>0)，拋物線的焦點在y軸上軸，拋物線方程為x2=2py(p>0)，分別代入P點坐標，計算可用選項。
12.（2023年中考·東莞）已知數列的通式為： 若該數列是遞減數列，則實數的值為（）
A.4B。 5C。 6 D.7
【答案】A、B
【知識點】序列的功能特點
【分析】【解答】解答：根據題意，，則，
所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 為 λ，故 λ0, b>0) 的偏心率為，則其漸近線方程為 ()
A. B．光盤。
3． （2023年東莞市中考）已知，則（）
A. B．光盤。
4.（2023年中考·東莞）該點到直線的距離最大時，m的值為（）
A. B． 0 c． -1 D． 1
5.（2016年高一·五邑期中）假設F是拋物線C的焦點：y2=3x。過F且傾斜角為30°的直線與C相交于A、B兩點，則|AB|= ()
A. B． 6C. 12 D.7
6.（2023年東莞市中考）過一點與向量平行的直線方程為（）
A. B．
光盤。
7.（2023年東莞市中考）函數的單調遞增區間為
A. B．光盤。
8． (2023中考·東莞)已知 , 為雙曲線的左右焦點，P為右枝上的任意點，若最小值為8a，則雙曲線的偏心率e的范圍雙曲線是 ( )
A. B．光盤。
2、選擇題（本大題有4個分題，共20.0分，每個分題中有多個項目符合出題要求）
9.（2023年中考·東莞）已知遞減算術數列前n項之和為，則（）
A. B．光盤。最大限度
10． （2023中考·東莞）已知四面體ABCD，各邊長均為2，點E、F分別為邊AB、CD的中點，則下列結論正確的是（）
A. B．
光盤。
11.（2023年東莞市中考）過P(4,-2)點的拋物線標準方程為()
A. B．光盤。
12.（2023年中考·東莞）已知數列的通式為： 若該數列是遞減數列，則實數的值為（）
A．4B． 5C。 6D。 7
3.填空題（本題共有4道小題，共20.0分）
13.（2019·浙江模擬）已知圓上任意點：（為正實數）相對于直線：的對稱點都在圓上，則 的最小值為 。
14.（2020年高中·黑龍江月考）對于等差數列，前項 和 分別為 。如果它們對于任何正整數都存在，則 的值為 。
15． （2023年中考·東莞） 橢圓相對于直線對稱點Q的右焦點在橢圓上，則橢圓的偏心率為。
16.（2023年中考·東莞）如圖所示，拋物線上的點與x軸上的點構成一個等邊三角形，,...,...其中該點在拋物線，點所在位置為，序列通項的猜測公式為。
4.回答問題（本大題共有6道小題，總分70.0分。答案需寫出書面說明，證明過程或計算步驟）
17． (2023中考·東莞)有三個頂點,,,,D為BC的中點，求：
(1) BC邊高所在直線方程；
(2) B邊中線AD所在直線方程。
18.（2020年高一·洛陽期末）在三棱柱中，平面 是 的中點， 是一個邊長為1的等邊三角形。
(1) 證明： ；
(2) 如果是，求二面角的大小。
19． （2023年高中二年級·東莞中考）已知序列{an}前n項之和為，
(1)求序列{an}的通式；
(2) 設，為數列前n項之和，求數列前n項之和。
20.（2023年中考·東莞）已知圓與圓：關于直線的對稱性。
(1)求圓的方程和圓的公弦長；
(2) 設過該點的直線l與圓相交于M、N兩點，O為坐標原點。求此時直線l的最小值及方程。
21。 (2023中考·東莞) 假設數列前n項之和為，若對任意正整數n，有
(1) 假設并驗證：該數列是等比數列，并求通式。
(2) 求數列前n項的和。
22。 （2023年中考·東莞）給定一個橢圓石竹學校，稱圓心在原點O，以橢圓為半徑的圓是橢圓C的“衛星圓”。設橢圓C的偏心率為，點在C上。
(1)求出橢圓C的方程及其“衛星圓”方程；
(2) 點P是橢圓C的“衛星圓”上的移動點，過點P畫一條直線，使其與橢圓C只有一個交點，其“衛星圓”交于點M和 N 分別。證明弦長|MN|是一個常數值。
答案解析部分
1． 【答案】C
【知識點】直線的傾角；直線的斜率
【分析】【解答】解：∵
∴
∴
還有∵
∴
故選：C
【分析】將直線的一般公式改寫為斜率-截距公式，然后利用斜率公式求得結果。
2.【答案】A
[知識點] 雙曲線的簡單性質
【分析】【答案】∵e= = ,
∴3= =2
∴
∴漸近線方程為： y=
所以答案是：A
【分析】由偏心率可得，進而求得，可得漸近線方程。
3． 【答案】B
【知識點】同角三角函數基本關系的應用；使用歸納公式來簡化和評估
【分析】【解答】解：∵ ,
∴
但
故選：B.
【分析】從歸納公式和全等角關系可以化簡為：
4.【答案】C
[知識點] 平面上一點到直線的距離公式
【分析】【解答】解：一條直線經過不動點Q(2,1)，
因此，當該點到直線的距離最大時，PQ垂直于直線，
現在，
解為m=-1，
故選：C.
【分析】由于直線經過固定點Q(2,1)，當PQ垂直于直線時，該點到直線的距離最大，因此可以通過方程組得到答案。
5.【答案】C
[知識點] 拋物線的簡單性質
【分析】【解答】解：由y2=3x求得焦點F(,0)，則準線方程為x=-。
那么通過拋物線 y2=3x 的焦點 F、傾角為 30° 的直線方程為 y=tan30° (x_ ) = (x_ )。
代入拋物線方程并消去y，可得16x2-168x+9=0。
設 A (x1, y1), B (x2, y2)
那么x1+x2= ,
所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12
故選：C
【分析】求焦點坐標，利用點斜率公式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數的關系，利用弦長公式求|AB |。
6.【答案】A
【知識點】直線的點-斜率方程；直線的方向向量
【分析】【解答】解答：根據題意可知，直線的斜率為，
所以直線方程為：
因此選擇：A.
【分析】利用點斜率公式求直線方程。
7.【答案】D
【知識點】復合函數的單調性
【分析】【解答】解：由x2-2x-8>0可得：x∈(∞, 2)∪(4,+∞)，
設 t=x2-2x-8，則 y=lnt，
當∵x∈(∞, 2)時，t=x2-2x-8為減函數；
當x∈(4,+∞)時，t=x2-2x-8為增函數；
y=lnt 是一個增函數，
因此，函數 f(x)=ln(x2-2x-8) 的單調遞增區間為 (4, +∞)，
故選D。
【分析】首先求函數的定義域，然后根據二次函數和對數函數的性質，結合復函數同增異減的性質求出答案。
8． 【答案】B
【知識點】基本不等式在最優值問題中的應用；雙曲線的簡單性質
【分析】【解答】解決方法： 。
當且僅當|PF2|=2a，上式的等號成立，則|PF1|=4a。
且|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即4a+2a≥2c，
所以，
故選B。
【分析】化簡，結合基本不等式得到|PF1|=4a、|PF2|=2a，再結合雙曲線的性質得到不等式4a+2a≥2c，并計算e的范圍。
9.【答案】A、C、D
【知識點】等差數列前n項之和；算術數列和線性函數之間的關系；算術數列的性質
【分析】【解答】解：由 ，可得石竹學校， ，
算術數列 {an} 是遞減數列，
所以a8又錯了，所以B也錯了；
，所以 C 是正確的；
算術數列{an}是遞減數列，a8，所以當1≤n≤7時，an>0
當n≥8時，an選擇：ACD
【分析】可知等差數列{an}是遞減數列，故a80，當n≥8時，an10。 【答案】B、D
【知識點】平面向量的數值乘積運算；利用數值積來確定平面向量的垂直關系；平面外直線的確定
【分析】【解答】解：根據題，四面體A-BCD是正四面體，如圖所示。
A：因為AF∩平面ABC=A，CE平面ABC，平面ABC，從面外直線的定義可知，AF和CE都是面外直線，所以A為錯誤的;
B：因為，因此，B 是正確的；
C：由于F是邊CD的中點，所以C是錯誤的；
D：因為E和F分別是邊AB和CD的中點，所以D是正確的。
所以我選擇：BD。
【分析】A是通過面外直線與向量平行的定義來判斷的，BC是通過空間向量乘積的運算來判斷的，D是通過空間向量的線性運算來判斷的。
11.【答案】A、C
[知識點] 拋物線的標準方程
【分析】【解答】解：如果拋物線的焦點在x軸上，則設拋物線的方程為y2=2px(p>0)，又因為拋物線經過點P(4,-2 ),
所以(-2)2=2p×4，解為p=，所以拋物線方程為y2=x。
如果拋物線的焦點在y軸上，設拋物線的方程為x2=2py(p>0)，又因為拋物線經過點P(4,-2)，
所以42=2p×(-2)，解為p=-4留學之路，所以拋物線方程為x2=-8y。
因此，我選擇：AC。
【解析】根據題意，拋物線的焦點在x軸上，拋物線的方程為y2=2px(p>0)，拋物線的焦點在y軸上軸，拋物線方程為x2=2py(p>0)，分別代入P點坐標，計算可用選項。
12.【答案】A、B
【知識點】序列的功能特點
【分析】【解答】解答：根據題意，，則，
所以 an+1-an=-2(2n+1)+λ 是 λ 所以 λ
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