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《徐利治談數(shù)學哲學》讀書筆記20090711
——數(shù)學直覺層次性初探
P131.直覺一詞是外來語，來源于日語“直覺”，是對“intuition”的意譯，指未經(jīng)過充分邏輯推理和研究的直觀，它是以已經(jīng)獲得的知識和積累的經(jīng)驗為依據(jù)的。有時指感性直觀，有時指非邏輯的，直接領悟事物本質的思考，有時意味著不夠嚴格的，不完全的思維，有時它意味著籠統(tǒng)地、綜合性的整體判斷，有時又被理解為“頓悟”，理解為靈感的閃現(xiàn)。
P132.我們認為，直覺是對事物本質的直接領悟或洞察，數(shù)學直覺是對于數(shù)學對象（結構及其關系）的某種直接領悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇。有時是“頓悟”，有時是“漸悟”的。是在無意中產生的，直接指向數(shù)學對象的本質。
所謂數(shù)學直覺的層次性，指的是人們獲得數(shù)學直覺的能力存在上的差異。這一點是由數(shù)學認識活動的主體和客體兩個方面決定的。認識主體的數(shù)學直覺能力層次，要根據(jù)認識客體的抽象程度加以衡量。反過來，對于數(shù)學認識客體的抽象程度理解到何種層次，取決于認識主體數(shù)學直覺能力的強弱。
P136.從數(shù)學直覺在數(shù)學認知活動中的作用來考察，可以把它劃分為辨識直覺、關聯(lián)直覺和審美直覺這三種類型。辨識直覺解決的是一個新想法是否有價值，是否值得去發(fā)展的問題。關聯(lián)知覺解決的是不同知識領域（包括已知知識領域和未知知識領域）之間內在聯(lián)系的問題。審美直覺解決的是新想法是否符合數(shù)學美的要求問題。
辨識知覺的對象是具體數(shù)學問題之研究。它需要識別哪一種研究思路較有價值、較為可靠，也就是要解決數(shù)學研究中的“真”與“善”的問題。數(shù)學真理可大體上劃分為“邏輯合理性”、“模式真理性”和“現(xiàn)實真理性”三個層次。
關聯(lián)直覺較之于辨識直覺居于更高層次，具備一定的思想跨度。
審美直覺是比關聯(lián)直覺和辨識知覺層次更高的直覺類型。
P138.有些數(shù)學家認為，數(shù)學的簡單性、統(tǒng)一性、對稱性、奇異性等本身就是數(shù)學美的內容。據(jù)有簡單性、統(tǒng)一性、對稱性、奇異性的數(shù)學對象與其背景反差越大，則顯得越美，越具有吸引力。
P139.影響數(shù)學直覺能力的主要因素有以下幾個方面。
（1） 知識基礎的狀況
數(shù)學直覺是在已有的知識素材基礎上產生的，知識基礎的穩(wěn)固性，影響著數(shù)學直覺認識的可靠性；知識基礎的“寬度”，影響著數(shù)學直覺，特別是關聯(lián)直覺的思想跨度。
（2）經(jīng)驗與訓練
數(shù)學直覺的層次性，同已往的經(jīng)驗有密切關系。而數(shù)學直覺能力是可以通過自覺訓練而提高的。數(shù)學直覺能力可以說是人的一種與生俱來的能力，但它必須通過積累實踐經(jīng)驗方能發(fā)揮作用。在數(shù)學教育的各個階段注重訓練數(shù)學直覺能力是十分重要的。積累數(shù)學直覺經(jīng)驗，貴在多想多練，反復體會。由于數(shù)學直覺是“悟”出來的，其中的過程難以用邏輯思維的言語講清楚，所以訓練直覺能力不能像講授數(shù)學知識那樣進行。提高這種能力要靠引導和必要的支點，但關鍵在于親身實踐，自己總結經(jīng)驗。在同樣的知識基礎上，在同樣的時間內，一個人實踐的次數(shù)越多，效率越高，越能使自己的數(shù)學直覺能力進入到較高層次。
（3）認識主體的思維品質
只有對要解決的問題抱有濃厚的興趣，經(jīng)過專心的思考，是思想漸入飽和狀態(tài)，達到獲得關鍵性觀念的邊緣，才能夠產生頓悟或漸悟，使直覺能力發(fā)揮作用。就數(shù)學直覺能力而言，從猜測、想象、模擬等發(fā)散思維中獲益更多一些。
（4）主體審美意識水平
審美意識水平的提高是促進各種類型的數(shù)學直覺能力的提高的重要因素。